工科数学分析II知识点复习

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工科数学分析II 知识点复习

隐函数

而那通过变形可得，因此是一个一元函数。

由于恒为 0，故

即

而和同样是只关于的函数，两边同时求导：

即：

这就是的二阶导。

这里看出必须在内有连续二阶导数（不然不好解释），同时（）

更广一点

这是关于的函数。

如果对求偏导，由于，故

归纳一下：

探讨

若如何呢？比如，在时不能确定一个，直观上看，这是因是由两段拼起来的和，而这点处于间断点。

更进一步

中有三个未知数，两个方程。

把一个当参数，这个方程就解出来了。

比如，，这就确定了两个函数。

同样的方法，关键在于，的一阶偏导是 0。

，

回忆克拉默法则：把行列式某一列换成

，

这个行列式还会遇到，它叫 Jacobi 行列式

但正常还是消元法快点。

探讨另一种解隐函数的方法

一阶全微分有形式不变性。

不论是否是复合函数。

最后只剩没有，解方程即可。

泰勒公式

泰勒多项式是在某点对的多项式近似。

化高维为一维，对于：

对主部，但不好处理。

，好求导。

对泰勒展开（在处，此时）

至于，找规律：

当就是泰勒展开了。

特别地

是二阶泰勒项中的部分

在求极值中有作用。

向量值函数

向量值函数的导数叫 Jacobi 矩阵，记为。

相当于多个标量函数叠加输出。

具体来说，每一行对应一个标量值函数的各个偏导。若只有一行，正好是梯度。

全微分

类比，这是用一个线性映射拟合函数，这里的线性映射是个矩阵。

Jacobi 行列式

简记为（这是个数）

对于我们最常见，它有性质：

若，两边取行列式：

特殊向量值函数

一阶连续，（注意里面是向量，输出也是向量）

若（圆周运动）

若方向不变（速度与位移共线）

若与某向量垂直

曲线曲面

曲线用参数方程定义：

（位矢）

若和在这里没有停下，称为正则点。

切线，法平面

为切线，垂直于法平面。

求曲线切线的方法

(1) 化成参数方程，直接导。

(2) 以 or or 作参数。

那同样导。

变成，如果难求。

回忆隐函数求导法，曲线由曲面交出来的，那就是两个方程：

直接套公式或消元求出即可。

有时候求一点的切线方程代入点会更好算

曲面

和曲线一样，也用参数方程定义，但需要两个参数确定，这很合理，因为一个面上的点需要两个坐标轴的值确定。

那就可以写成：

固定一个参数，那就相当于一个坐标固定，自然画出的是一维的曲线，之所以这么做，是为了求切面，有切线才有切面，比如：

这就是把固定了，求对参数的导。和二元函数其实一样的。

如果，线性无关，也就是不共线，那就能确定平面，其法向量。回忆叉乘的运算。

这就是

若其不为 0，那就是正则点（就是 -曲线、$$u$$-曲线在这点正则）。

切平面和法线

曲面上一个点会通过好多曲线，在这点处会有切向量，一个优良的曲面这些向量应该全在一个平面上，也就是切平面，而这所谓优良就是正则光滑。

这时用和就足以求出这个平面了。

当然，和曲线一样，有三种方法，其中隐函数方法：

确定一个平面，但难求，这个平面应该是：

，

即为。

曲率

挠率：

很多积分

二重积分，三重积分，曲线积分，曲面积分。

特殊的二重积分

Poisson 积分

由

夹逼而得。同时这里涉及：

二重积分可看成两个积分相乘的技巧。

二重积分一般换元

若用换，就要用表示出。

但对于积分来说一个问题就是如何用表示。这里，而经推导得是。因此。

注意是的导数（Jacobi 矩阵）

同时对称性也能加速计算

三重积分

用细棒、切片、球坐标三种方法。

一般换元

同样是。

可以简单记要用表示所以是而不是。

第一型曲线积分

即线积分，当成求密度，既在线上积分，用参数方程最方便。

回忆

有时对称性能加速计算。

第一型曲面积分

线的微元是，面则是（大写）。

回忆叉乘表示面积，那

曲面面积是什么，就是曲面参数方程的，而是的范围。说回来能用表示，积起来自然是面积。

但随便的，不太好，令，，

，

上次做类似的运算是求曲面法向量，那时的结果是可以记下来了。

而正好，，故：

，

也就是说这个面积微元正比于坐标平面上投影的面积，这个直观上也能看出来，x, y 的范围就是由投影限制的。

同样可以用对称性化简，同时也注意 u, v 有时也可以是极坐标。

古鲁金定理

一个符合直觉的定理，底×高=面积，只不过高是一个环。

第二型曲线积分

P, Q, R 都是多元函数。

符合直觉的。

则（点乘）

这里可以写：

计算仍用参数方程就行。